El conjunto de los números Reales

sábado, 4 de abril de 2015

teoría de conjuntos de Cantor

Antes de Cantor cualquier colección era o finita o potencialmente infinita y había una sola noción de tamaño infinito. No existía la noción de diferentes tamaños de infinitos. Era suficiente el símbolo ∞, de Wallis, para representar la noción de infinito potencial. Fue Cantor, quien al investigar sobre los conjuntos de singularidades de series de Fourier, inicio el tratamiento del infinito en acto; es decir, concibió el infinito completo y no en potencia, e hizo el descubrimiento de que no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Hay infinitos de diferentes tamaños y mas aún, hay una cantidad infinita ilimitada de tamaños infinitos. Cantor mostró que el conjunto Ν de los números naturales, el conjunto Ζ de los enteros y el conjunto Q de los números racionales tienen todos el mismo tamaño, lo demostró construyendo correspondencias biunìcas entre ellos. Cantor mostró también que el conjunto R de los números reales no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con un conjunto infinito numerable y por tanto no es infinito numerable sino de un cardinal infinito distinto, de hecho estrictamente mayor pues en cualquier correspondencia uno a uno con un conjunto numerable siempre hay más números reales fuera de la correspondencia. Cantor llamó Ĉ o cardinal del continuo al cardinal de los números reales.

lunes, 8 de julio de 2013

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de números enteros contiene los números del conjunto de números usados para contar ( también llamados números naturales)

E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E

E = {conjunto de números enteros}

N= { conjunto de números naturales}

C= símbolo en lenguaje de conjuntos que significa contiene o pertenece, nota: NO con confundir con un conjunto, a los conjuntos siempre se les nombra con una letra MAYUSCULA por lo regular la primer letra del conjunto.

Entonces E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E al defínirlo en lenguaje de conjuntos nos dice que el

Conjunto de los números enteros, en donde el conjunto de los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros.

ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Nosotros al contar o enumerar algo lo hacemos de esta manera, 1-2-3-4-5-6-7-8-9… y así sucesivamente, y esto es una manera correcta de contar, pero que pasaría si al contar hiciéramos esto , 1-6-9-4-2-8-7 esto es una manera INCORRECTA de contar,

Entonces el conjunto de los números enteros tiene una propiedad llamada propiedad de orden, Un par ordenado de números (a,b) es aquel en que el orden considerado de los números es tal que primero es a y después b. El número expresado primero se conoce como primera componente, y el número expresado en segundo término se llama segundo componente del par ordenado.

Todo número entero puede ser representado en la recta, y recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde un número entero, Esto nos permite establecer una relación de orden.

Dados dos números cualquiera a y b

Diremos que a es menor que b, a < b

Si al representarlos en la recta numérica a esta ala izquierda de b

También podemos decir que los números ala derecha del cero son los positivos y los de la izquierda son los negativos, y a es menor que b si la diferencia b-a es positiva

b-a > 0

Todos los números que están ala derecha de otro número siempre son mayores, esta propiedad es sólo para aquellos números que están ala derecha del cero. Es decir los enteros positivos.

OPERACIONES CON EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

En este conjunto de números enteros podemos, contar, sumar, restar, multiplicar.

Lo que NO podemos hacer es dividir.

Suma y resta de números enteros

Consideremos que los números enteros positivos nos deben y los enteros negativos debemos esa cantidad.

Si un número no tiene signo (no lo vemos) se supone que es positivo (+)

A la operación de la suma se le conoce como binaria ( El prefijo “bi” denota dos) puesto que son dos elementos que se suman.

Ejemplos:

7 + 6 = 13 8-2 =6 12-15=-3 -6 + 4 = -2 -7 + 9 = 2 -4 -2 = -6

Por otro lado si sumamos

2 + 3 = 5

Y si intercambiamos los lugares de los números (propiedad conmutativa de la suma)

3 + 2 = 5

Obtenemos el mismo resultado

NOTA IMPORTANTE

Nunca pueden aparecer dos signos (operaciones) seguidas. Tienen que estar separadas por paréntesis, corchetes, etc…

Ejemplos:

- 4 - + 5 ¡nunca!

-4 - (+5) siempre

OPERACIONES

- 3 – [ (-2) + (+3) ]

Operar interior paréntesis

- 3 – [ (-2) + (+3) ] = - 3 – [ -2 +3) ]

-3 – [ +1] = - 4

Si queremos quitar paréntesis

Si tenemos un signo + positivo delante de un paréntesis desaparece el signo y dejamos los mismos signos dentro del paréntesis

Ejemplo:

+ [(+4) + ( -2 ) ] es = [(+4) + ( -2 ) ]

= [+4 -2 ]

= [ 2]

Si tenemos un signo – negativo desparece pero cambiamos todos los signos del interior del paréntesis

Ejemplo:

-[(+5) + 2 - (+8)]

= [(-5) - 2 +(- 8)]

= [ -5) - 2+(-8)]

= [ (-5) – 2 - 8) ]

= [- 5 – 10]

= -15

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

suma

CONMUTATIVA:

La suma de dos números enteros No se altera cuando se cambia el orden de los sumandos

Ejemplo:

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

ASOCIATIVA:

La suma de dos números no depende del orden en el cual están agrupados.

Ejemplo:

(2 +3) + 1 = 6

2 + (3 + 1) = 6

Esta propiedad puede ser generalizada para agrupar más de tres números.

Ejemplo

2 + 3 + 4 + 5 +6,

{ [ 2 + 3 ) + 4 ] + 5 } + 6

IDENTIDAD ADITIVA NEUTRA

Elemento idéntico: Cero es el elemento idéntico de la suma, es decir, la suma de cero y cualquier otro número entero es ese número entero.

Ejemplo

3 + 0 = 3

MULTIPLICACIÓN

La operación que se practica con dos números llamados factores es la multiplicación y tiene como propósito encontrar un tercer número específicamente llamado producto. Esta operación también es binaria, puesto que sólo multiplicamos dos números.

PROPIEDAD DE CERRADURA

El producto de cada par de números enteros es un número entero.

Así si multiplicamos cualquier par de números enteros el resultado será otro número entero,

Si multiplicamos manzanas el resultado del producto es manzanas.

Por tanto esta propiedad es cerrada. Y se le llama propiedad de la cerradura

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Sí a y b son dos números enteros cualquiera entonces a × b = b × a

Ejemplo:

3 × 4 = 12 7 × 2 = 14

4 × 3 = 12 2 × 7 = 14

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Recordemos que la multiplicación es una operación binaria, es decir una operación con dos números. Para encontrar el producto de tres números, por ejemplo 3, 4 y 6, podemos multiplica 3 y 4, y obtener el producto 12, y después multiplicar 12 × 6 es decir;

( 3 × 4 ) × 6 = 72

12 × 6 = 72

En ambos casos el producto es el mismo.

Por tanto (3 × 4) × 6 = 12 × 6

Más ejemplos

( 2 × 6 ) × 3 = 2 × ( 6 × 3)

(3 × 8) × 5 = 3 × ( 8 × )

5 × ( 8 × 7) = (5 × 8) × 7

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

¿ Existe alguna conexión entre la suma y la multiplicación?

Consideremos este problema

Cuatro niños y dos niñas van al parque.

El precio del camión es de 6 pesos por persona

¿ Cuánto costará a los 6 niños ir al parque en camión?

Lo podemos plantear de esta manera

Costara 4 × 6, ó 24 pesos los niños

Costara 2 × 6, ó 12 pesos las niñas

Costara 24 + 12, ó 36 pesos por todos los niños y niñas.

El número de niños es 4 + 2, ó 6

Costara 6 × 6 = 36

Lo cual podemos deducir

( 4 + 2) × 6 = 36

De esto podemos observar que (4 × 6) + ( 2 × 6) = ( 4 + 2 ) × 6

Ejemplos:

(1) 5 × ( 4 + 3 ) = ( 5 × 4) + ( 5 × 3)

5 × 7 = 20 + 15

(2) ( 6 + 2 ) × 5 = (5 × 6) + ( 5 + 2 )

8 × 5 = 30 + 10

ELEMENTO IDÉNTICO

El número 1 desempeña el mismo papel respecto de la multiplicación, que el 0 respecto de la suma.

Ejemplo:

0 + 3 = 3

0 + 2 = 2

De manera semejante

5 × 1 = 5

4 × 1 = 4

2 × 1 = 2

Estas son algunas de las propiedades del conjunto de los números enteros.

NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de números enteros contiene los números del conjunto de números usados para contar ( también llamados números naturales)

E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E

E = {conjunto de números enteros}

N= { conjunto de números naturales}

Entonces E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E al definirlo en lenguaje de conjuntos nos dice que el

Conjunto de los números enteros, en donde el conjunto de los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros.

ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Todo número entero puede ser representado en la recta, y recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde un número entero, Esto nos permite establecer una relación de orden.

Dados dos números cualquiera a y b

Diremos que a es menor que b, a < b

Si al representarlos en la recta numérica a esta ala izquierda de b

También podemos decir que los números ala derecha del cero son los positivos y los de la izquierda son los negativos, y a es menor que b si la diferencia b-a es positiva

b-a > 0

Todos los números que están ala derecha de otro número siempre son mayores, esta propiedad es sólo para aquellos números que están ala derecha del cero. Es decir los enteros positivos.

OPERACIONES CON EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

En este conjunto de números enteros podemos, contar, sumar, restar, multiplicar.

Lo que NO podemos hacer es dividir.

Suma y resta de números enteros

Consideremos que los números enteros positivos nos deben y los enteros negativos debemos esa cantidad.

Si un número no tiene signo (no lo vemos) se supone que es positivo (+)

A la operación de la suma se le conoce como binaria ( El prefijo “bi” denota dos) puesto que son dos elementos que se suman.

Ejemplos:

7 + 6 = 13 8-2 =6 12-15=-3 -6 + 4 = -2 -7 + 9 = 2 -4 -2 = -6

Por otro lado si sumamos

2 + 3 = 5

Y si intercambiamos los lugares de los números (propiedad conmutativa de la suma)

3 + 2 = 5

Obtenemos el mismo resultado

NOTA IMPORTANTE

Nunca pueden aparecer dos signos (operaciones) seguidas. Tienen que estar separadas por paréntesis, corchetes, etc…

Ejemplos:

- 4 - + 5 ¡nunca!

-4 - (+5) siempre

OPERACIONES

- 3 – [ (-2) + (+3) ]

Operar interior paréntesis

- 3 – [ (-2) + (+3) ] = - 3 – [ -2 +3) ]

-3 – [ +1] = - 4

Si queremos quitar paréntesis

Si tenemos un signo + positivo delante de un paréntesis desaparece el signo y dejamos los mismos signos dentro del paréntesis

Ejemplo:

+ [(+4) + ( -2 ) ] es = [(+4) + ( -2 ) ]

= [+4 -2 ]

= [ 2]

Si tenemos un signo – negativo desparece pero cambiamos todos los signos del interior del paréntesis

Ejemplo:

-[(+5) + 2 - (+8)]

= [(-5) - 2 +(- 8)]

= [ -5) - 2+(-8)]

= [ (-5) – 2 - 8) ]

= [- 5 – 10]

= -15

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

suma

CONMUTATIVA:

La suma de dos números enteros No se altera cuando se cambia el orden de los sumandos

Ejemplo:

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

ASOCIATIVA:

La suma de dos números no depende del orden en el cual están agrupados.

Ejemplo:

(2 +3) + 1 = 6

2 + (3 + 1) = 6

Esta propiedad puede ser generalizada para agrupar más de tres números.

Ejemplo

2 + 3 + 4 + 5 +6,

{ [ 2 + 3 ) + 4 ] + 5 } + 6

IDENTIDAD ADITIVA NEUTRA

Elemento idéntico: Cero es el elemento idéntico de la suma, es decir, la suma de cero y cualquier otro número entero es ese número entero.

Ejemplo

3 + 0 = 3

MULTIPLICACIÓN

PROPIEDAD DE CERRADURA

El producto de cada par de números enteros es un número entero.

Así si multiplicamos cualquier par de números enteros el resultado será otro número entero,

Si multiplicamos manzanas el resultado del producto es manzanas.

Por tanto esta propiedad es cerrada. Y se le llama propiedad de la cerradura

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Sí a y b son dos números enteros cualquiera entonces a × b = b × a

Ejemplo:

3 × 4 = 12 7 × 2 = 14

4 × 3 = 12 2 × 7 = 14

PROPIEDAD ASOCIATIVA

( 3 × 4 ) × 6 = 72

12 × 6 = 72

En ambos casos el producto es el mismo.

Por tanto (3 × 4) × 6 = 12 × 6

Más ejemplos

( 2 × 6 ) × 3 = 2 × ( 6 × 3)

(3 × 8) × 5 = 3 × ( 8 × )

5 × ( 8 × 7) = (5 × 8) × 7

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

¿ Existe alguna conexión entre la suma y la multiplicación?

Consideremos este problema

Cuatro niños y dos niñas van al parque.

El precio del camión es de 6 pesos por persona

¿ Cuánto costará a los 6 niños ir al parque en camión?

Lo podemos plantear de esta manera

Costara 4 × 6, ó 24 pesos los niños

Costara 2 × 6, ó 12 pesos las niñas

Costara 24 + 12, ó 36 pesos por todos los niños y niñas.

El número de niños es 4 + 2, ó 6

Costara 6 × 6 = 36

Lo cual podemos deducir

( 4 + 2) × 6 = 36

De esto podemos observar que (4 × 6) + ( 2 × 6) = ( 4 + 2 ) × 6

Ejemplos:

(1) 5 × ( 4 + 3 ) = ( 5 × 4) + ( 5 × 3)

5 × 7 = 20 + 15

(2) ( 6 + 2 ) × 5 = (5 × 6) + ( 5 + 2 )

8 × 5 = 30 + 10

ELEMENTO IDÉNTICO

El número 1 desempeña el mismo papel respecto de la multiplicación, que el 0 respecto de la suma.

Ejemplo:

0 + 3 = 3

0 + 2 = 2

De manera semejante

5 × 1 = 5

4 × 1 = 4

2 × 1 = 2

Estas son algunas de las propiedades del conjunto de los números enteros.

domingo, 7 de julio de 2013

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales está formado por varios subconjuntos, estos son el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros positivos. El conjunto de los números enteros negativos, el conjunto de los números racionales y finalmente el conjunto de los números irracionales.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los elementos de este conjunto son todos aquellos números que usamos para enumerar o contar.

Este fue el primer conjunto utilizado por el hombre, que al principio le fue de gran utilidad ya que con este conjunto podía contar y sumar sus cosas, así por ejemplo cuando los pastores en la mañana sacaban a sus animales al campo a que comieran, contaban los animales que salían del corral, ya por la tarde de regreso al corral. Solo les bastaba contar los mismos animales que habían salido por la mañana eran los mismos que deberían estar dentro del corral, hasta aquí todo bien, el problema fue cuando quisieron utilizar la resta, pues en ciertas ocasiones que se les presentaban este conjunto los limitaba en sus operaciones, por ejemplo si querían hacer una suma de 2 más 1 (2+1=3) no tenían problemas, pero cuando querían restar 1 menos 3 ( 1-3 = ?) Aquí es en donde se presentaba el problema, es decir que el conjunto de los números naturales solo les servía para sumar, y restar, pero la resta los condicionaba a que el número a restar, es decir el minuendo tenía que ser mayor que el sustraendo

Ejemplo

Pero no podían hacer la resta cuando el minuendo era menor que el sustraendo

Por ejemplo

Esto les hizo buscar otro conjunto de números, que nosotros conocemos como los números enteros positivos y negativos ( este conjunto incluye al cero) y que a su vez uniendo el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros positivos y negativos obtenemos el conjunto de los números enteros.

Posteriormente se les presento otra dificultad, ellos vieron que cuando hacían reparticiones no siempre les correspondía una parte entera, es decir si ellos dividían

12 ÷ 3 = 4

En donde

· 12 es el dividendo y 3 es el divisor y 4 es el cociente

Esto no era problema, porque dentro del conjunto de los números enteros, si se divide y nos da un número entero no hay problema, si nos da parte fraccionaria allí si hay problema porque dentro del conjunto de los números enteros no existen números fraccionarios, solo números enteros, entonces cuando el divisor era mayor al dividendo la cosa ya no era fácil, ejemplo

Observamos que el divisor es MAYOR que el dividendo, entonces tuvieron que buscar otro conjunto de números, y estos fueron el conjunto de los números racionales.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Todos los números naturales y números enteros, son números racionales, es decir en la unión de estos conjuntos;El conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros

obtenemos el conjunto de los números racionales

Ya con este conjunto de números racionales se podían hacer las operaciones que antes en el otro conjunto de los naturales y enteros no se podían realizar.

Ya por ultimo tenemos a los números irracionales, este conjunto de números, fueron los pitagóricos los primeros en vérselas con esta clase de números, al querer sacarle el lado de un triángulo rectángulo vieron que siempre les quedaba un numero que no tenía una raíz exacta, y por más intentos que hicieron al querer librar esto no pudieron y al final tuvieron que aceptar que existía otra clase de números que no formaban parte del conjunto de números vistos hasta ahorita es decir, el conjunto de números naturales, el conjunto de números enteros, y el conjunto de números racionales, pero que este nuevo conjunto de números formaban parte de las soluciones de estos mismos conjuntos, entonces ellos les llamaron el conjunto de los números irracionales que en unión con los conjuntos, naturales, enteros, racionales y finalmente en unión con los números irracionales formaron el conjunto universo de los números REALES