NÚMEROS ENTEROS

 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de números enteros contiene los números del  conjunto  de números usados para contar ( también llamados números naturales)

E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E

E = {conjunto de números enteros}

N= { conjunto de números naturales}

C= símbolo en lenguaje de conjuntos que significa contiene o pertenece, nota:  NO con confundir con un conjunto, a los conjuntos siempre se les nombra con una letra MAYUSCULA por lo regular la primer letra del  conjunto.

Entonces  E = { …-3,-2,-1,0,1,2,3...} N C E  al definirlo en lenguaje de conjuntos nos dice que el

Conjunto de los números enteros, en donde el  conjunto de los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros.

ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Nosotros al contar o enumerar algo lo hacemos de esta manera, 1-2-3-4-5-6-7-8-9… y así sucesivamente, y esto es una manera correcta de contar, pero que pasaría si al contar hiciéramos esto , 1-6-9-4-2-8-7 esto es una manera INCORRECTA de contar,

Entonces el conjunto de los números enteros tiene una propiedad llamada  propiedad de orden, Un par ordenado de números (a,b)  es aquel en que el orden considerado de los números es tal que primero es  a y después b. El número expresado primero se conoce como primera componente, y el número expresado en segundo término se llama segundo componente del par ordenado.

Todo número  entero  puede ser representado en la recta, y recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde un número entero, Esto nos permite establecer una relación de orden.

Dados dos números cualquiera   a y b

Diremos que  a es menor que b,  a < b

Si al representarlos en la recta numérica  a esta ala izquierda de  b

También podemos decir que los números ala derecha del cero son los positivos y los de la izquierda son los negativos, y a es menor que b si  la diferencia  b-a  es positiva

b-a > 0  

Todos los números que están ala derecha de otro número siempre son mayores, esta propiedad  es sólo para aquellos números que están ala derecha del cero. Es decir los enteros positivos.

OPERACIONES CON EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

En este conjunto de números enteros podemos, contar, sumar, restar, multiplicar.

Lo que NO podemos hacer es  dividir.

Suma  y resta de números enteros

Consideremos que los números enteros positivos nos deben y los enteros negativos debemos esa cantidad.

Si un número no tiene signo (no lo vemos) se supone que es positivo (+)

A la operación de la suma se le conoce como binaria ( El prefijo “bi” denota dos) puesto que son dos elementos que se suman.

Ejemplos:

7 + 6 = 13                   8-2 =6             12-15=-3                 -6 + 4 = -2      -7 + 9 = 2  -4 -2 = -6

Por otro lado si sumamos

2 + 3 = 5

Y  si intercambiamos los lugares de los números (propiedad conmutativa de la suma)

3 + 2 = 5

Obtenemos el mismo resultado

NOTA IMPORTANTE

Nunca pueden aparecer dos signos (operaciones) seguidas. Tienen que estar separadas por paréntesis, corchetes, etc…

Ejemplos:

    - 4 - + 5  ¡nunca!

-4 - (+5)  siempre

OPERACIONES

- 3 – [ (-2) + (+3) ]

Operar interior paréntesis

- 3 – [ (-2) + (+3) ]   =  - 3 – [ -2 +3) ]

-3 – [ +1] = - 4

Si queremos quitar paréntesis

Si tenemos un signo +  positivo delante de un paréntesis desaparece el  signo y dejamos los mismos signos dentro del paréntesis

Ejemplo:

+ [(+4) + ( -2 ) ] es  =   [(+4) + ( -2 ) ]

                                  =   [+4  -2  ]

                                  =   [ 2]

Si tenemos un signo – negativo desparece pero cambiamos todos los signos del interior del paréntesis

Ejemplo:

-[(+5) + 2 - (+8)]  

= [(-5) - 2 +(- 8)]  

 = [ -5)  - 2+(-8)]  

       = [ (-5) – 2 - 8) ]

       =  [- 5 – 10]

       = -15

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

 suma

CONMUTATIVA:

La suma de dos  números enteros No se altera cuando se cambia el orden de los sumandos

Ejemplo:

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

ASOCIATIVA:

La suma de dos números no depende del orden en el cual están agrupados.

Ejemplo:

(2 +3) + 1 = 6

2 + (3 + 1) = 6

Esta propiedad puede ser generalizada para agrupar más de tres números.

Ejemplo

2 + 3 + 4 + 5 +6,

{ [ 2 + 3 ) + 4 ] + 5 } + 6

IDENTIDAD ADITIVA NEUTRA

Elemento idéntico: Cero es el elemento idéntico de la suma, es decir, la suma de cero y cualquier otro número entero  es ese número entero.

Ejemplo

3 + 0 = 3

MULTIPLICACIÓN

La operación que se practica con dos números llamados factores es la multiplicación y tiene como propósito encontrar un tercer  número específicamente llamado producto. Esta operación también es binaria, puesto que sólo multiplicamos dos números.

PROPIEDAD DE CERRADURA

El producto de cada par de números enteros es un número entero.

Así si multiplicamos cualquier par de números enteros el resultado será otro número entero,

Si multiplicamos manzanas el resultado del  producto es manzanas.

Por tanto esta propiedad es cerrada. Y se le llama propiedad de la cerradura

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Sí  a y b son dos números enteros cualquiera entonces  a  × b = b × a

Ejemplo:

3 × 4 = 12    7 × 2 = 14   

4 × 3 = 12     2 × 7 = 14

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Recordemos que la multiplicación es una operación binaria, es decir una operación con dos números. Para encontrar el producto de tres números, por ejemplo 3, 4  y 6, podemos multiplica  3  y  4, y  obtener el producto  12, y después multiplicar 12 × 6 es decir;

( 3 × 4 ) × 6 =  72  

  12 × 6 = 72

En ambos casos el producto es el mismo.

Por tanto   (3 × 4) × 6 = 12 × 6

                                      

Más ejemplos

( 2 × 6 ) × 3 = 2 × ( 6 × 3)

(3 × 8) × 5 = 3 × ( 8 × )

5 × ( 8 × 7) = (5 × 8) × 7

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

¿ Existe alguna conexión entre la suma y la multiplicación?

Consideremos este problema

Cuatro niños y dos niñas van al parque.

El precio del camión es de 6  pesos  por persona

¿ Cuánto costará a los 6  niños ir al parque en camión?

Lo podemos plantear de esta manera

Costara  4 × 6, ó 24 pesos los niños

Costara 2 × 6, ó 12  pesos las niñas

Costara 24 + 12, ó 36 pesos por todos los niños y niñas.  

El número de niños es 4 + 2, ó  6

Costara  6 × 6 = 36

Lo cual podemos deducir

( 4 + 2) × 6 = 36

De esto podemos observar que (4 × 6) + ( 2 × 6) =  ( 4 + 2 ) × 6

Ejemplos:

(1) 5 × ( 4 + 3 ) = ( 5 × 4) + ( 5 × 3)

               5 × 7          =    20 + 15

(2) ( 6 + 2 ) ×  5 = (5 × 6) + ( 5 + 2 )

                8 × 5           =  30 + 10

ELEMENTO IDÉNTICO

El número 1 desempeña el mismo papel respecto de la multiplicación, que el 0 respecto de la suma.

Ejemplo:

0 + 3 = 3

0 + 2 = 2

De manera semejante

5 × 1 = 5

4 × 1 = 4

2 × 1 = 2

Estas son algunas de las propiedades del conjunto de los números enteros.